Question

已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，則內切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）圓的面積的最大值為，直線方程.

解析試題分析：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系及研究三角形內切圓面積問題.（1）由橢圓的離心率和左焦點到點的距離為，建立方程組，求出、的值，從而得出橢圓方程；（2）是探索性問題，研究是否存在過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，使得內切圓的圓面積最大的問題，求解分三個步驟，根據條件得出面積的關系式，將用直線的斜率的倒數表示，再通過函數知識求面積的最大值；由此求出直線的方程；將由面積關系式得到的面積的最大值代入面積關系式，即可得到圓的半徑的最大值，進而求出圓的面積的最大值.
試題解析：（1）設橢圓左焦點，則，解得，，
故所求橢圓方程為.
（2）設，，令，，設的內切圓的半徑為，則的周長為，，
因此若最大，則最大，
又，由題設知直線的斜率不為0，可設直線的方程為，
聯立方程組消去整理得，
由根與系數的關系得，，
，
即，令，則，由此得，
令，即在上單調遞增，
，則（當且僅當時，，），
這時所求內切圓的面積的最大值為，
故直線的方程為，內切圓的面積的最大值為.
考點：橢圓方程，直線與橢圓的位置關系，三角形的內切圓面積.