Question

在新農村建設過程中，某村計劃建造一個室內矩形（ABCD）蔬菜溫室．在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地，內部（EFGH）種植蔬菜（示意圖）．
（1）若矩形ABCD的周長為104m，要使EFGH的面積不小于504m²，試求邊長AB的范圍；
（2）若矩形ABCD的面積為800m²，則當邊長AB為多少時，矩形EFGH的面積S最大．

Answer 1

分析：（1）設AB為xm，確定EF，EH的長，即可表示EFGH的面積，利用EFGH的面積不小于504m²，建立不等式，即可試求邊長AB的范圍；
（2）表示EFGH的面積，利用基本不等式，即可求矩形EFGH的面積S最大值．

解答：解：（1）設AB為xm，則AD=

104-2x

2

=52-x，EF=x-2，EH=48-x．…（1分）
由題知：（x-2）（48-x）≥504…（2分）
化簡得：x²-50x+600≤0，
解得：20≤x≤30．
所以邊AB的長度在20m至30m之間．…（4分）
（2）設AB為xm，則AD=

800

x

，EF=x-2，EH=

800

x

-4．…（5分）
∴S=(x-2)(

800

x

-4)=808-4(x+

400

x

)≤808-4×2

x× 400 x

=648(m2)，…（7分）
當且僅當x=

400

x

，x=20(m)時，S最大648m²．
即邊長AB為20m時，矩形EFGH面積最大．    …（8分）

點評：本題考查矩形面積的計算，考查解不等式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．