Question

平面內有n(n∈N*)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,求證:這n條直線把平面分成f(n)=個部分.

Answer 1

證明：(1)當n=1時,一條直線把平面分成兩部分,而∴命題成立.

(2)假設當n=k時命題成立,即k條直線把平面分成個部分.

則當n=k+1時,即增加一條直線l,因為任何兩條直線不平行,所以l與k條直線都相交,有k個交點;又因為任何三條直線不共點,所以這k個交點不同于k條直線的交點,且k個交點也互不相同,如此k個交點把直線l分成k+1段,每一段把它所在的平面區域分為兩部分,故新增加了k+1個平面部分.

∴f(k+1)=f(k)+k+1

∴當n=k+1時命題成立.

由(1)(2)可知當n∈N*時,命題成立.