Question

在平面內有n（n∈N^*，n≥3）條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若n條直線把平面分成f（n）個平面區域，則f（6）等于（ ）
A．18
B．22
C．24
D．32

Answer 1

【答案】分析：先求出幾個特殊的值，再分析前k條直線與第k+1條直線，把平面分成的區域之間的關系，歸納出關系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根據數列求和求出f（n）的關系式，再求出f（6）的值．
解答：解：一條直線（k=1）把平面分成了2部分，記為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
設前k條直線把平面分成了f（k）部分，第k+1條直線與原有的k條直線有k個交點，這k個交點將第k+1條直線分為k+1段，這k+1段將平面上原來的f（k）部分的每一部分分成了2個部分，共2（k+1）部分，相當于增加了k+1個部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，則f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n=1）=n，把這n-1個等式累加，得
f（n）-f（1）=2+3+…+n=，∴f（n）=2+部分．
當n=6時，f（16）=2+20=22部分．
故選B．
點評：本題考查了數學歸納法的應用，關鍵是找出第k項和第k+1項之間的關系，再利用數列求和求出f（n）的關系式，考查了分析問題和解決問題的能力．