Question

已知2cos(2x+

π

6

)-1＞0，則函數y=tan²x-2tanx+5的值域為 (8-2

3

，8)．

Answer 1

分析：解已知不等式可得kπ-

π

4

＜x＜kπ+

π

12

，結合正切函數的圖象可得-1＜tanx＜2-

3

，
對所求函數配方可得y=（tanx-1）²+4，結合二次函數在該區間上的單調性判值域．

解答：解：由2cos(2x+

π

6

)-1＞0可得cos(2x-

π

6

)＞

1

2

∴kπ-

π

4

＜x＜kπ+

π

12

，k∈Z
∴-1＜tanx＜2-

3

y=tan²x-2tanx+5=（tanx-1）²+4在(-1，2-

3

)單調遞減
8-2

3

＜y＜8
故答案為：(8-2

3

，8)

點評：本題綜合考查三角不等式的解法及二次函數的值域的求解，關鍵是要注意二次函數在所給區間上的單調性，準確判斷取得最值的位置．