Question

已知函數(shù)f(x)=2cos(x-

π

3

)+2sin(

3π

2

-x)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值時(shí)的x的集合．
（3）若f(x)=

6

5

，求cos(2x-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：由題意可得：f（x）=2sin（x-

π

6

）．（1）當(dāng)2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化簡(jiǎn)可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值．（3）由題意可得：2sin（x-

π

6

）=

6

5

，所以sin（x-

π

6

）=

3

5

．再集合二倍角公式可得：cos（2x-

π

3

）=1-2sin²（x-

π

6

）=

7

25

．

解答：解：由題意可得：f(x)=2cos(x-

π

3

)+2sin(

3π

2

-x)，化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（1）當(dāng)2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化簡(jiǎn)可得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，(k∈Z)．
（2）當(dāng)x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值2，
并且此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}．
（3）由題意可得：f(x)=

6

5

，即2sin（x-

π

6

）=

6

5

，所以sin（x-

π

6

）=

3

5

．
所以cos（2x-

π

3

）=1-2sin²（x-

π

6

）=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握兩角和與差的正弦余弦公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．