Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，過點的直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，記直線與曲線分別交于兩點.

（1）求曲線和的直角坐標方程；

（2）證明：成等比數列.

Answer 1

【答案】(1), .（2）見解析.

【解析】

（1）曲線C的極坐標方程左右兩邊同乘 ，再利用 可求其直角坐標方程；消參可求直線的普通方程；

（2）把直線的參數方程和曲線C的直角坐標方程聯立，利用韋達定理分別表示 ，利用等比中項法即可證明。

（1）由，得 ，

所以曲線的直角坐標方程為，

由 ，消去參數，得直線的普通方程為.

（2）證明：將直線的參數方程代入中，得.

設兩點對應的參數分別為，則有，，

所以.

因為，

所以，，成等比數列.