Question

已知圓C₁：(x+3)²+y²=1和圓C₂：（x-3）²+y²=9,動圓M同時與圓C₁及圓C₂相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.

Answer 1

x²-=1 (x≤-1)

解析:

如圖所示，設(shè)動圓M與圓C₁及圓C₂分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得

|MC₁|-|AC₁|=|MA|，

|MC₂|-|BC₂|=|MB|.

因為|MA|=|MB|，

所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2.

這表明動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C₂，C₁的距離之差是常數(shù)2.

根據(jù)雙曲線的定義，動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C₂的距離大，到C₁的距離小），這里a=1,c=3,則b²=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為x²-=1 (x≤-1).