Question

（I）已知|

a

|=2，|

b

|=3，

a

與

b

的夾角是

π

3

，求實數k，使得5

a

+3

b

與3

a

+k

b

垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=

1

5

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（I）由已知的兩向量垂直，得到兩向量的數量積為0，利用平面向量的數量積運算法則計算后，將已知的

a

與

b

的模及夾角代入，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（II）將已知的等式sinα+cosα=

1

5

兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到2sinαcosα的值小于0，可得sinα大于0，cosα小于0，再利用完全平方公式求出（sinα-cosα）²的值，開方得到sinα-cosα的值，與sinα+cosα的值聯立求出sinα和cosα的值，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，即可求出tanα的值．

解答：解：（I）∵5

a

+3

b

與3

a

+k

b

垂直，

a

與

b

的夾角是

π

3

，
∴（5

a

+3

b

）•（3

a

+k

b

）=0，
即15|

a

|²+（5k+9）|

a

|•|

b

|cos

π

3

+3k|

b

|²=0，
又|

a

|=2，|

b

|=3，
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-

87

42

；
（II）把sinα+cosα=

1

5

①兩邊平方得：
sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，又0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
則（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
聯立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則tanα=-

4

3

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，同角三角函數間的基本關系，以及兩向量垂直時滿足的關系，熟練掌握法則及基本關系是解本題的關鍵，同時注意判斷sinα與cosα的正負．