Question

（I）已知

a

=（1，2），求與

a

平行且反向的單位向量坐標；
（Ⅱ）已知|

a

|=5，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為60°，如果（k

a

-

b

）⊥(

a

+2

b

)，求實數k的值．

Answer 1

分析：（I）設所求單位向量

b

=λ

a

=（λ，2λ）（λ＜0），由|

b

|=1可得λ；
（Ⅱ）由（k

a

-

b

）⊥(

a

+2

b

)，得（k

a

-

b

）•(

a

+2

b

)=0，代入已知條件可得k值；

解答：解：（I）設所求單位向量

b

=λ

a

=（λ，2λ）（λ＜0），
則|

b

|=

λ2+(2λ)2

=|

5

λ|=1，解得λ=-

5

5

，
所以所求單位向量為（-

5

5

，-

2 5

5

）；
（Ⅱ）因為（k

a

-

b

）⊥(

a

+2

b

)，
所以（k

a

-

b

）•(

a

+2

b

)=0，即k

a

2+(2k-1)

a

•

b

-2

b

2=0，
所以25k+（2k-1）×5×4×

1

2

-2×4²=0，解得k=

14

15

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算、單位向量、向量垂直的充要條件等知識，屬中檔題．