Question

（理科做：）已知A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)上一點，F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求兩焦點的坐標；
（II）設點C、D是橢圓上的兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出其值；若不是定值，則說明理由．

Answer 1

分析：（I）由|AF₁|+|AF₂|=4，知a=2，設橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，得b2=

4

3

，由此能求出兩焦點的坐標．
（II）設AC：y=k（x-1）+1，聯立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由A（1，1）在橢圓上，方程有一個根為x_A=1，知xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，由AC與AD的傾斜角互補，能推導出CD的斜率為定值．

解答：解：（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，∴a=2，
設橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，
把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

，
∴c2=4-

4

3

=

8

3

，
∴兩焦點的坐標F1(-

2 6

3

，0)，F2(

2 6

3

，0)．
（II）設AC：y=k（x-1）+1，
聯立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，
得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，
∵A（1，1）在橢圓上，方程有一個根為x_A=1，
∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，
∵AC與AD的傾斜角互補，
∴AD為：y=-k（x-1）+1，
同理，xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，
∵y_C=k（x_C-1）+1，
y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，
∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

．
故CD的斜率為定值

1

3

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力，考查論證推導能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．