Question

（理科做）：已知：如圖，△ABC的邊BC長為16，AC、AB邊上中線長的和為30．
求：（I）△ABC的重心G的軌跡；
（II）頂點A的軌跡方程．

Answer 1

解：（I）以BC所在的直線為X軸，BC中點為原點建立直角坐標系．
設G點坐標為（x，y），
∵重心分中線比為2：1
∴|GC|+|GB|=30×=20，
根據橢圓的定義可知G點的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．
因a=10，c=8，有b=6，故其方程為=1（y≠0）
（II）設A點坐標為（u，v）
則x=，y=，把（3u，3v）代入G的方程得+=1（y≠0）

故頂點A的軌跡為得+=1（y≠0）
分析：（I）設重心G點坐標為（x，y），以BC所在的直線為X軸，BC中點為原點建立直角坐標系．根據重心分中線比為2：1可知|GC|+|GB|=30×根據橢圓的定義可知G點的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．進而求得橢圓的a，c和b得到G的軌跡方程；
（II）設A點坐標為（u，v），根據重心分中線比為2：1，可得x與u，y與v的關系，代入G的軌跡方程進而可得A的軌跡方程．
點評：本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關鍵是利用了橢圓的定義求得軌跡方程．考查轉化思想．