Question

設曲線y=xⁿ（n∈N^*）與x軸及直線x=1圍成的封閉圖形的面積為a_n，設b_n=a_na_n+1，則b₁+b₂+…+b₂₀₁₂=（　　）

• A．

  503

  1007

• B．

  2011

  2012

• C．

  2012

  2013

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：可求得a_n=

∫

1 0

xndx，由b_n=a_na_n+1，利用裂項法可求得b_n，從而可得b₁+b₂+…+b₂₀₁₂的值．

解答：解：∵得a_n=

∫

1 0

xndx
=

xn+1

n+1

|

1 0

=

1

n+1

，
∴b_n=a_na_n+1
=

1

n+1

•

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₂=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

2012+1

-

1

2012+2

）
=

1

2

-

1

2014

=

503

1007

．
故選A．

點評：本題考查數列的求和，考查定積分的應用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題．