Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣ （a∈R）．
（1）若a=1，求函數f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）= ﹣x+ ，f′（x）=x2﹣1，

令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1，

列表：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	﹣1	﹣	0	+	3
f（x）		↘	﹣	↗

∴當x∈[0，2]時，f（x）最大值為f（2）= ．

（2）解：f′（x）=x2﹣a2=（x﹣a）（x+a），

令f′（x）=0，得x1=﹣a，x2=a，

①若a＜0，在（0，﹣a）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（﹣a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以，f（x）在x=﹣a時取得最小值f（﹣a）=﹣ =a（ ），

因為a＜0， ＞0，所以f（﹣a）=a（ ）＜0．

所以當a＜0時，對任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；

②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函數，

所以當a=0時，有f（x）＞f（0）=0；

③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以，f（x）在x=a時取得最小值f（a）= =﹣a（ ），

令f（a）=﹣a（ ）＞0，由a＞0，得 ＜0，0＜a＜ ，

所以當0＜a＜ 時，對任意x＞0，f（x）＞0都成立．

綜上，a的取值范圍是[0， ]

【解析】（1）a=1時寫出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出當x變化時f′（x）、f（x）的變化表，由表格可得函數在[0，2]上的最大值；（2）對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等價于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三種情況進行討論，利用導數即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范圍；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．