Question

【題目】在平面直角坐標系中, 是拋物線的焦點, 是拋物線上位于第一象限內的任意一點,過三點的圓的圓心為,點到拋物線的準線的距離為

(1)求拋物線的方程;

(2)若點的橫坐標為,直線與拋物線有兩個不同的交點 與圓有兩個不同的交點,求當時, 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由圓的性質可得Q點縱坐標 ，根據拋物線定義可得 即得拋物線方程（2）聯立直線方程與拋物線方程。利用韋達定理及弦長公式可得，利用垂徑定理可得，這樣得到關于k的函數關系式，最后利用導數求其最值。

試題解析：(1)F拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F,

設M,,由題意可知,

則點Q到拋物線C的準線的距離為,解得,

于是拋物線C的方程為。

(Ⅲ)若點M的橫坐標為,則點M,。

由可得,

設,

圓,

,

于是,

令,

設,,

當時,,

即當時.

故當時,。