Question

已知函數f(x)=sinx-2cos2

x

2

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，π]時，求函數f（x）值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數解析式第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據就x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的定義域與值域即可確定出f（x）的值域．

解答：解：（I）f（x）=sinx-2×

1+cosx

2

=sinx-cosx-1=

2

sin（x-

π

4

）-1，
∵ω=1，∴函數f（x）的最小正周期為2π；
（II）由x∈[0，π]，得x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，即

2

sin（x-

π

4

）-1∈[-2，

2

-1]，
則y=f（x）值域為[-2，

2

-1]．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．