Question

已知函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都經過點P（2，0），且在點P處有公切線，求f（x），g（x）的表達式及點P處的公切線方程．

Answer 1

分析：函數f（x）與g（x）的圖象都經過點P（2，0），求得a，b值，求f（x），g（x）的表達式；再求出曲線方程的導函數，根據曲線方程設出切點坐標，把設出的切點橫坐標代入導函數中表示出的導函數值即為切線的斜率，由切點坐標和斜率表示出切線方程，把原點坐標代入切線方程中即可求出切點的橫坐標，進而得到切點的縱坐標和切線的斜率，寫出公切線方程即可．

解答：解：∵函數f（x）=2x³+ax的圖象經過點P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴點P處的切線斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵兩函數圖象在點P處有公切線
∵g′（x）=2bx
∴g′（2）=4b=16∴b=4
∴g（2）=16+c=0∴c=-16
∴g（x）=4x²-16∴點P處的公切線方程為：y=16（x-2），即16x-y-32=0．

點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．