Question

已知函數f（x）=e^x（ax+1）（其中e為自然對數的底，a∈R為常數）．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）當a=1時，設g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）已知2＞x^m對任意的x∈（0，1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f′（x）=e^x[ax+（a+1）]…1
①．當a=0時，f′（x）=e^x 在R上遞增…2
②．當a＞0時，（-∞，-）上遞減，（-，+∞）遞增…3
③．當a＜0時，（-∞，-）上遞增，（-，+∞）遞減…4
（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5
g（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增…6
①．當0＜t≤時，t+2＞．g_min（x）=g（）=ln=-…7
②．當t＞時，g_min（x）=g（t）=tlnt…8
（III）∵2＞x^m＞0，所以ln2＞lnx^m，得m＞…10
令y=，y′=…11
在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．
所以y_max=-eln2….12
所以：m＞-eln2…..13
分析：（I）先求出函數f（x）的導函數f'（x），然后討論a與0的大小關系，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（II）當a=1時，g（x）=xlnx，利用其導數得g（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，再對字母t進行分類討論：①．當0＜t≤時，②．當t＞時，即可求出g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（III）由于2＞x^m＞0，兩邊取對數得ln2＞lnx^m，從而有m＞，令y=，利用其導數研究它的單調性，即可求出實數m的取值范圍．
點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．