Question

設函數f（x）=x-x²+alnx，此曲線在P（1，0）處的切線斜率為2．
（1）求a的值．    
（2）試證明f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析：（1）由題意知f′（1）=2，解出即可；
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），只需利用導數證明g（x）_max≤0；

解答：解：（1）f′（x）=1-2x+

a

x

，
由曲線在點P處的切線斜率為2，得f′（1）=2，即1-2+a=2，解得a=3，
故所求a值為3．
（2）令g（x）=f（x）-（2x-2）（x＞0），
則g（x）=x-x²+3lnx-2x+2=-x²-x+3lnx+2，
g′（x）=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

=

-(2x+3)(x-1)

x

，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
所以當x=1時g（x）取得極大值，也為最大值，g（1）=0，
所以g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-2，從而得證．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程及函數的最值問題，（2）問關鍵是構造函數，轉化為求函數的最大值解決．