Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，動點P與兩個定點M（1，0），N（4，0）的距離之比為

1

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+3與曲線W交于A，B兩點，在曲線W上是否存在一點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），再由M和N的坐標，利用兩點間的距離公式分別表示出|PM|及|PN|，由距離之比為

1

2

列出關系式，整理后即可得到動點P軌跡W的方程；
（Ⅱ）由第一問得到的W軌跡方程為圓心（0，0），半徑為2的圓，且直線l與圓交于兩個，得到圓心到直線l的距離d小于半徑r，利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，假設存在Q點，使得

OQ

=

OA

+

OB

，又A和B再圓上，利用由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，根據菱形的對角線互相平分且垂直，得到OQ與AB互相垂直且平分，可得出原點到直線l的距離等于|OQ|的一半，即為半徑的一半，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，經檢驗符合k的范圍，故存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，．

解答：解：（Ⅰ）設點P坐標為（x，y），依題意得：

|PM|

|PN|

=

1

2

，
又M（1，0），N（4，0），
∴2

(x-1)2+y2

=

(x-4)2+y2

，
化簡得：x²+y²=4，
則動點P軌跡W方程為x²+y²=4；                       
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+3與曲線W交于A，B兩點，且W軌跡為圓心為（0，0），半徑r=2的圓，
∴圓心到直線l的距離d=

3

1+k2

＜r=2，即k²＞

5

4

，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，
假設存在點Q點，使得

OQ

=

OA

+

OB

，
由A，B圓上，且

OQ

=

OA

+

OB

，
利用向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，
∴OQ與AB互相垂直且平分，
∴原點O到直線l：y=kx+3的距離為d=

1

2

|OQ|=1，即

3

1+k2

=1，
整理得：k²=8，
解得：k=±2

2

，經驗證滿足條件，
則存在點Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，動點的軌跡方程，圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系，菱形的判定與性質，以及向量在幾何中的運用，是一道綜合性較強的試題．