Question

（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.

 （I）證明：AB₁⊥BC₁；

 （II）求點B到平面AB₁C₁的距離；

 （III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

            

 

Answer 1

【答案】

（I）略

（II）B到平面AB₁C₁的距離為

（III）二面角C₁—AB₁—A₁的大小為60°

【解析】解:（1）建立直角坐標系，其中C為坐標原點.

依題意A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），

C₁（0，0，2），因為，所以AB₁⊥BC₁. ……………4分 

（2）設是平面AB₁C₁的法向量，

由得

所以令，則，

因為，所以，B到平面AB₁C₁的距離為.……………8分

（3）設是平面A₁AB₁的法向量.由

      令=1，則

因為

又由圖像可知二面角C₁—AB₁—A₁為銳角，

所以，二面角C₁—AB₁—A₁的大小為60°………………………12分