Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，橢圓上的點到焦點距離的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）橢圓上的點到焦點距離的最大值為，且離心率為，結合，求得的值，進而求橢圓方程；

（Ⅱ）直線和圓錐曲線位置關系問題，往往會將直線方程和圓錐曲線方程聯立，根據其位置關系注意判別式符號的隱含條件，同時要善于利用韋達定理對交點設而不求．設直線的方程為，與拋物線方程聯立得，因交于兩點故，得的不等式，設交點，帶入向量式得交點橫坐標關系，再結合韋達定理列方程得的方程，與上述不等式聯立求實數的取值范圍．

（Ⅰ）設所求的橢圓方程為：．

由題意, 所求橢圓方程為：．

（Ⅱ）若過點的斜率不存在，則．

若過點的直線斜率為，即時，直線的方程為．

由．

于是．

因為和橢圓交于不同兩點，所以，，所以．

①

設．由已知，則．

②

， 所以③

將③代入②, 得．整理得．

所以, 代入①式, 得．

即，解得．所以或． 綜上可得，實數的取值范圍為．