Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求導，根據(jù)當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，則$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}\\ f（b）=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得a，b的值．

解答 （1）證明：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（2）解：若f（x）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，
則$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}\\ f（b）=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}-2=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{5}$，b=2．

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)單調性的判斷與證明，難度中檔．