Question

14．設f（x）是定義在（-∞，+∞）上的函數，對一切x∈R均有f（x）+f（x+3）=0，且當-1＜x≤1時，f（x）=2x-3．
（1）求f（x）的周期；
（2）求當2＜x≤4時，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，轉化為周期的定義，求解即可．
（2）利用已知條件，求出-1≤x≤1時，f（x+3）=-2x+3，設x+3=t，轉化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x）
所以f（x-3）+f（x）=0，
∴f（x-3）=-f（x），
∴f（x+3）=f（x-3），
∴f[（x-3）+6]=f（x-3），
所以周期為6．
（2）∵當-1＜x≤1時，f（x）=2x-3，
∴當-1≤x≤1時f（x+3）=-f（x）=-2x+3，
設x+3=t，則由-1＜x≤1得2＜t≤4，又x=t-3，
于是f（t）=-2（t-3）+3=-2t+9，
故當2＜x≤4時，
f（x）=-2x+9．

點評 本題考查抽象函數的應用，周期的求法，函數的解析式的求法，考查轉化思想以及計算能力．