Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，其右焦點為，以坐標原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經過點的直線，分別交橢圓于，及，四點，且，探究：是否存在常數，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2），使得恒成立.

【解析】

（Ⅰ）根據點到直線的距離公式得到，再由a,b,c的關系可得到每一個參數值；（Ⅱ）（ⅰ）當與其中一條直線的斜率不存在時，易知，其中一個為長軸，另一個為通徑，可代入驗證，求得參數值；（ⅱ）當與斜率存在且不為零時，設的方程為，則的方程，分別聯立兩直線和橢圓方程，結合弦長公式和韋達定理得到參數值.

（Ⅰ）設所求橢圓的方程為，

由點到直線的距離為，故，

又，所以，

故所求橢圓的方程為；

（Ⅱ） 假設存在常數，使得恒成立，則，

（ⅰ）當與其中一條直線的斜率不存在時，易知，其中一個為長軸，另一個為通徑，長軸長為，通徑為，

此時，

（ⅱ）當與斜率存在且不為零時，不妨設的方程為，

則的方程，聯立方程，消去可得

，設，，

則 ，所以

，

將代入，化簡可得，

在的表達式中用“”代“”可得，

所以 .

綜合（ⅰ）（ⅱ）可知存在常數，使得恒成立.