Question

【題目】已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）因為f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，

所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①

得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②

聯立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）= （﹣1＜x＜1），

g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）= （﹣1＜x＜1）

（2）解：設t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，

所以函數y=log2t的值域是（﹣∞，0]，

故g（x）的值域是（﹣∞，0]

【解析】（1）由題意和函數奇偶性得：f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）化簡后，聯立原方程求出f（x）和g（x），由對數的運算化簡，由對數函數的性質求出函數的定義域；（2）設t=1﹣x2 ， 由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，利用對數函數的性質求出g（x）的值域．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．