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已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
（2）設動直線與曲線相切于點，且與直線相交于點，試探究：在坐標平面內是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過此定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．
（1）動點的軌跡曲線的方程為；（2）存在一個定點符合題意.

試題分析：（1）先設點，則，由，易得動點的軌跡曲線的方程；（2）把直線方程和拋物線方程聯立，消去，因為相切等價于，得；從而可得點的坐標，寫出以為直徑的圓的方程，即可得存在一個定點符合題意．
試題解析： （1）設點，則，由，得
，化簡得．
（2）由得，
由，得，從而有,，
則以為直徑的圓的方程為，
整理得，
由得，
所以存在一個定點符合題意.
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點稱為切點．解決下列問題：
已知拋物線上的點到焦點的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點、，且（為定值）．設線段的中點為，與直線平行的拋物線的切點為．.

（1）求出拋物線方程，并寫出焦點坐標、準線方程；
（2）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無關，只與有關.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，1)，P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.

(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且＝λ，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知Rt△AOB的三個頂點都在拋物線y2＝2px上，其中直角頂點O為原點，OA所在直線的方程為y＝x，△AOB的面積為6，求該拋物線的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，若的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且拋物線的準線交雙曲線所得的弦長為4，則雙曲線的實軸長為（   ）
A．6B．2C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知,拋物線的焦點,線段與拋物線的交點為,過作拋物線準線的垂線,垂足為,若,則_______.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,若拋物線的準線與雙曲線5x2-y2=20的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于4,則拋物線的方程為(　　)
A．y2=4xB．x2=4y
C．y2=8xD．x2=8y

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點.若|AF|=3,則|BF|=　　　　.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A、B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．

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