Question

（2012•浙江模擬）若函數f（x）=asinx+bcosx（ab≠0）的圖象向左平移

π

3

個單位后得到的圖象對應的函數是奇函數，則直線ax-by+c=0的傾斜角為（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

Answer 1

分析：利用輔助角公式將f（x）=asinx+bcosx化為f（x）=

a2+b2

sin（x+φ），圖象向左平移

π

3

個單位后得到g（x）=

a2+b2

sin（x+

π

3

+φ），由g（x）是奇函數可得

π

3

+φ=kπ（k∈Z），從而可求得φ，繼而可得直線ax-by+c=0的傾斜角．

解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx
=

a2+b2

sin（x+φ），），（tanφ=

b

a

），
∴g（x）=f（x+

π

3

）
=

a2+b2

sin（x+

π

3

+φ），（tanφ=

b

a

），
又g（x）是奇函數，
∴g（-x）=-g（x）
∴

π

3

+φ=kπ（k∈Z且k≠0），
∴tanφ=tan（kπ-

π

3

）=-

3

，又tanφ=

b

a

，
∴

b

a

=-

3

，
設直線ax-by+c=0的傾斜角θ，則tanθ=

a

b

=-

3

3

，
∵0＜θ＜π，
∴θ=

5π

6

，即θ=150°．
故選D．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數的奇偶性及直線的傾斜角，求得φ的關系式是關鍵，理清φ與直線ax-by+c=0的傾斜角的關系是難點，屬于中檔題．