Question

已知函數f（x）=

1

2

cos²x-

3

sinxcosx-

1

2

sin²x+1（x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，

π

2

]最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

9

5

，x₀∈[-

π

6

，

π

6

]求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式、輔助角公式對已知函數進行化簡，然后利用周期公式可求T，由x的范圍，結合余弦函數的性質可求函數的最大值與最小值
（2）由f（x₀）=

9

5

，x₀∈[-

π

6

，

π

6

]可求cos（2x₀+

π

3

），sin（2x0+

π

3

），而cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

）-

π

3

]，展開代入即可求解

解答：解：∵f（x）=

1

2

cos²x-

3

sinxcosx-

1

2

sin²x+1
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=cos(2x+

π

3

)+1
（1）函數的周期T=π
∵0≤x≤

π

2

∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤

1

2

∴0≤f（x）≤2，即函數的最大值為2，最小值0
（2）∵f（x₀）=cos（2x₀+

π

3

）+1=

9

5

，x₀∈[-

π

6

，

π

6

]
∴cos（2x₀+

π

3

）=

4

5

∵x₀∈[-

π

6

，

π

6

]
∴2x0+

π

3

∈[0，

2π

3

]，sin（2x0+

π

3

）=

3

5

cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

）-

π

3

]=cos(2x0+

π

3

)cos

π

3

+sin(2x0+

π

3

)sin

π

3

=

1

2

×

4

5

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用，余弦函數的性質及和差角公式在求值中的應用．