Question

已知圓O：x²+y²=4和點M(1，

2

)，過點M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，設d₁，d₂分別為圓心O到弦AC，BD的距離．
（1）求d₁的最小值與最大值；
（2）求證d12+d22為定值；
（3）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，已知圓的圓心為O（0，0），半徑r=2．由點M到圓心的距離小于半徑，可得點M在圓內，由此即可算出d₁的最小值與最大值；
（2）當AC、BD都不過圓心時，設OE⊥AC、OF⊥BD，垂足分別為E、F，利用勾股定理和矩形的性質加以計算，可得d12+d22=|OM|²=3；當AC、BD中有一條過圓心時，上述等式也成立．由此可得d12+d22=3為定值；
（3）利用垂徑定理，分別算出|AC|、|BD|關于d₁、d₂的表達式，再利用基本不等式和對角線垂直的四邊形面積公式加以計算，結合（2）的結論可得四邊形ABCD面積的最大值是5．

解答：解：（1）∵圓O方程為x²+y²=4，M(1，

2

)，
∴圓心為O（0，0），半徑r=2．由12+(

2

)2＜4，可得點M在圓內，
因此，當AC過圓心O時，d₁有最小值0；
當AC⊥OM時，d₁有最大值，最大值等于OM=

12+( 2 )2

=

3

；
（2）當AC、BD都不過圓心時，設OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分別為E、F，
∴四邊形OEMF為矩形，可得d12+d22=|OE|²+|OF|²=|OM|²=3；
當AC、BD中有一條過圓心時，上述等式式也成立．
綜上所述，可得d12+d22=3，為定值3；
（3）根據垂徑定理，可得
|AC|=2

r2-d12

=2

4-d12

，|BD|=2

r2-d22

=2

4-d22

∴|AC|•|BD|=4

4-d12

•

4-d22

≤4•

(4-d12)+(4-d22)

2

=10
（當且僅當d₁=d₂=

6

2

時等號成立）．
∴四邊形ABCD面積S=

1

2

|AC|•|BD|≤5，可得四邊形ABCD面積的最大值是5．

點評：本題給出圓內一點M，過M作兩條互相垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD的面積最大值．著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關系、用基本不等式求最值和四邊形的面積計算等知識，屬于中檔題．