Question

已知集合A={x|mx²-2x+3=0，m∈R，x∈R }．
（1）若A是空集，求m的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一個元素，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=0時，集合A={x|-2x+3=0}={

3

2

}≠∅，不合題意；當m≠0時，須△＜0，解次不等式即可．
（2）由（1）當m=0時符合題意，若當m≠0還須△=0．
（3）至多只有一個元素包括A中只有一個元素和A是空集兩種情況．為（1），（2）的合并．

解答：解：集合A是方程mx²-2x+3=0在實數范圍內的解集．
（1）當m=0時，集合A={x|-2x+3=0}={

3

2

}≠∅，不合題意；
   當m≠0時，須△＜0，即△=4-12m＜0，即m＞

1

3

．
   故若A是空集，則m＞

1

3

（2）∵A中只有一個元素，∴方程mx²-2x+3=0只有一個解．
若m=0，方程為-2x+3=0，只有一解x=

3

2

，符合題意
若m≠0，則△=0，即4-12m=0，m=

1

3

．
∴m=0或m=

1

3

．
（3）A中至多只有一個元素包含A中只有一個元素和A是空集兩種含義，
根據（1）、（2）的結果，得m=0或m≥

1

3

．

點評：本題考查含參數的方程的解法、空集的概念、集合的表示方法、分類討論的思想方法．本題的易錯點是忽視對m是否為0進行討論．