Question

某人承攬一項業務：需做文字標牌2個，繪畫標牌3個．現有兩種規格的原料，甲種規格每張3m²，可做文字標牌1個、繪畫標牌2個；乙種規格每張2m²，可做文字標牌2個、繪畫標牌1個．求這兩種規格的原料用多少張才能使總的用料面積最小．

 

Answer 1

答案：
解析：

：設用甲種規格原料x張，乙種規格原料y張，則可做文字標牌x+2y個，繪畫標牌2x+y個 　　由題意可得 　　所用原材料的總面積z=3x+2y，作出可行域如圖示陰影部分內的整點，作直線l0：3x+2y=0，作一組與直線l0平行的直線l：3x+2y=t(t∈R)．當直線l通過2x+y=3與直線x+2y= 2的交點A(，)時，l取得最小值．因為(，)不是整點，所以它不是最優解．當x=，y=時，z=4，可知當x，y∈N*時，z≥5，令3x+2y=5，則y=代入約束條件，可得1≤x≤，所以x=1，即經過可行域內的整點，點B(1，1)滿足3x+2y=5，使t最小，所以最優解為B(1，1)．故用甲種規格的原料1張，乙種規格的原料1張，能使總的用料面積最小，其最小值5m2．

提示：

求整點最優解時，可先轉化為普通線性規劃求解．若所求得的最優解不是整點時，再借助不定方程的知識調整最優值，最后求出整點最優解．因為在考試時，常需要作出一些圖形，而要解決作圖的準確性問題，就必須抓住圖形中的一些關鍵點和圖形的變化趨勢，只要抓住了局部的關鍵點，也就帶動了整體的圖形狀態．