Question

已知函數f（x）定義在區間(-1，1)上，f(

1

2

)=-1，對任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

2a

1+ a 2n

．
（I）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（II）求證：數列{f（a_n）}是等比數列，并求f（a_n）的表達式；
（III）設cn=

n

2

bn+2，bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

，是否存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，cn＜

6

7

lo

g

22

m-

18

7

log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）f(t)=2f(

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)，
∴t=

4

5

…（2分）
（II）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，
且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2n

)=f(an)+f(an)=2f(an)，

即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

…（8分）
∴cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，…（9分）
則cn+1-cn=-(n+1)+

n+1

2n+1

+2-[-n+

n

2n

+2]
=

n+1

2n+1

-

n

2n

-1
=

1-n

2n+1

-1＜0，
∴{c_n}是減數列，
∴cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，
要使7cn＜6log2 2m-18log2m對任意n∈N^*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞

21

2

，
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-

1

2

，或log2m＞

7

2

，
∴0＜m＜

2

2

，或m＞8

2

≈11.31，
∴當m≥12，且m∈N^*時，7cn＜6log2 2m-18log2m對任意n∈N^*恒成立，
∴m的最小正整數值為12．