Question

【題目】已知函數f（x）= ，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若m=2，則f（x）= ，

當1≤x＜3時，f（x）=log3x﹣2，﹣2≤f（x）≤﹣1，f（x）min=﹣2

當x≥3時，f（x）=3（x﹣2）（x﹣4）=3（x﹣3）2﹣3，f（x）min=﹣3

∴f（x）的最小值為﹣3

（2）解：①若f（x）在1≤x＜3時有1個零點，則m＜0或 ，∴0≤m＜1

此時需f（x）在x≥3時有1個零點，

∴ ∴m無解，

②若f（x）在1≤x＜3時無零點，則m＜0或1﹣m≤0，即m＜0或m≥1，此時f（x）在x≥3時有2個零點

當m＜0時，f（x）在x≥3時無零點，不符合題意，

當m≥1時，f（x）在x≥3時有2個零點，則m≥3

綜上，m的取值范圍為[3，+）

【解析】1、把m的值代入可得分段函數，分析每一個函數的最小值，分別根據對數函數的單調性可得當1≤x＜3時，f（x）min=﹣2。當x≥3時，根據二次函數的最值情況求得f（x）min=﹣3，即最小值為-3.
2、利用反證法可得若f（x）在1≤x＜3時有1個零點不成立，當m＜0時，f（x）在x≥3時無零點，不符合題意故即得f（x）在x≥3時有2個零點成立則m≥3。