Question

如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEAF，G、H分別是FA、FD的中點，
(Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(Ⅱ)C、D、E、F四點是否共面？為什么？
(Ⅲ)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD， 所以GH， 又BC， 故GHBC，所以四邊形BCHG是平行四邊形。 (Ⅱ)C、D、F、E四點共面，理由如下： 由BE，G是FA的中點知，BEGF，所以EF∥BG， 由(Ⅰ)知BG∥GH，故FH共面， 又點D在直線FH上， 所以C、D、F、E四點共面。 (Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形， 故BG⊥EA， 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直， 故AD⊥平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED， 又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE， 由(Ⅰ)知，CH∥BG， 所以CH⊥平面ADE， 由(Ⅱ)知F∈平面CDE，故CH平面CDE， 得平面ADE⊥平面CDE。