Question

如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEAF，G、H分別是FA、FD的中點．
（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
（Ⅱ）C、D、E、F四點是否共面？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證明：四邊形BCHG是平行四邊形，通過三角形中位線定理證得其一組對邊平行且相等即可；
（II）C，D，F，E四點共面．理由是：由EF∥BG，結合（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，從而共面．
解答：證明：（Ⅰ）由題意知，FG=GA，FH=HD
所以GH，又BC，故GHBC
所以四邊形BCHG是平行四邊形．
（Ⅱ）C，D，F，E四點共面．理由如下：
由BEAF，G是FA的中點知，BEGA，即有BEGF，所以四邊形BEFG是平行四邊形，
所以EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．
又點D在直線FH上
所以C，D，F，E四點共面．
點評：本小題主要考查平面的基本性質及推論、確定平面的條件、共面的證明方法、平行四邊形的特征等基礎知識，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．