Question

設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“① 方程f(x)-x=0有實數根；② 函數f(x)的導數(x)滿足0＜(x)＜1”.

(Ⅰ)判斷函數f(x)=是否是集合M中的元素，并說明理由；

(Ⅱ )集合M中的元素f(x)具有下面的性質：“若f(x)的定義域為D，則對于任意[m，n]D，都存在x₀∈ [m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)(x₀)成立”，試用這一性質證明：方程f(x)-x=0只有一個實數根；

(Ⅲ)設x₁是方程f(x)-x=0的實數根，求證：對于f(x)定義域中任意的x₂，x₃,當，且時，.

Answer 1

解：(Ⅰ)因為f(x)=cosx，

所以(x)∈[,]，滿足條件0＜(x)＜1，

又因為當x=0時，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有實數根0.

所以函數f(x)=是集合M中的元素.

(Ⅱ)假設方程f(x)-x=0存在兩個實數根α,β(α≠β)，

則f(α)-α=0，f(β)-β=0，

不妨設α＜β，根據題意存在實數c∈(α,β)，

使得等式f(β)-f(α)=(β-α)(c)成立，

因為f(α)=α，f(β)=β，且α≠β,所以(c)=1，

與已知0＜(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一個實數根； 

(Ⅲ)不妨設x₂＜x₃，因為(x)＞0，

所以f(x)為增函數，所以f(x₂)＜f(x₃)，

又因為(x)-1＜0，所以函數f(x)-x為減函數，

所以f(x₂)-x₂＞f(x₃)-x₃，

所以0＜f(x₃)-f(x₂)＜x₃-x₂，即|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|， 

所以|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-(x₂-x₁)|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2.