【題目】已知函數
.
（1）若
有兩個極值點，求實數
的取值范圍；
（2）已知
，
，
是的三個零點，且
.當
時，求證：
.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）求導得到
，設
，得到
，從而得到的單調性和
，根據
有兩個極值點，結合零點存在定理，得到
的范圍；（2）當
時，可知
單調遞增，不符合題意，當時，得到
，記
，利用導數求出
的單調性，從而確定
的兩根的范圍，結合的范圍，得到
的范圍，從而得證.
（1）
，
，
設
時，
，所以
單調遞減，即單調遞減；
時，
，所以單調遞增，即單調遞增；
所以
，
因為有兩個極值點，所以
有兩個解，
所以
，即，
又因為
和
時，都有
，
所以即為所求..
（2）證明：（ⅰ）當，由（1）可知
，
所以在
上單調遞增，
所以至多一個零點，與條件矛盾，
所以.
（ⅱ）當時，由（1）可知：
，
時單調遞增；
時單調遞減.
因為
，所以
.
當
時，由
可得，
記，則
、
是
的兩根.
，
記
，
則
.
易知
和
時，都有
，又
，
所以
在上單調遞增..
又因為
，
所以時，
，
即
，所以
單調遞減；
時，
，
即
，單調遞增，
設
的兩根為
∵
∴
∵
∴
.
當
時，的兩根、滿足
，
則
，證畢.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解全市統考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績
（同一組中數據用該組區間中點作代表）；
（2）由直方圖可認為考生考試成績z服從正態分布
，其中
分別取考生的平均成績和考生成績的方差
，那么抽取的4000名考生成績超過84.81分（含84.81分）的人數估計有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念已經深入人心，這將推動新能源汽車產業的迅速發展.下表是近幾年我國某地區新能源乘用車的年銷售量與年份的統計表:
某機構調查了該地區30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分數據如下表所示:
(1)求新能源乘用車的銷量
關于年份
的線性相關系數
，并判斷與是否線性相關;
(2)請將上述
列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關;
(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人，記選到女性車主的人數為
，求的數學期望與方差.
參考公式:
，
，其中
.
，若
，則可判斷與線性相交.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖三棱錐A－BCD中，BD⊥CD，E，F分別為棱BC，CD上的點，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．
（1）求證：平面AEF⊥平面ACD；
（2）若
，
為
的中點，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與拋物線
：
交于
，
兩點，且
的面積為16（
為坐標原點）.
（1）求的方程；
（2）直線
經過的焦點
且不與
軸垂直，與交于
，
兩點，若線段
的垂直平分線與軸交于點
，證明：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.
（1）完成下列
列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數
的分布列及數學期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
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