Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線相切．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，4）且截圓C所得的弦長為的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)圓的方程，利用以C（1，-2）為圓心的圓與直線相切，即可求得圓C的方程；
（2）分類討論，利用圓心C（1，-2）到直線的距離，過點(diǎn)（3，4）且截圓C所得的弦長為，即可求得直線方程．
解答：解：（1）設(shè)圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=r²，------（1分）
依題意，∵C（1，-2）為圓心的圓與直線相切．
∴所求圓的半徑，，-----（3分）
∴所求的圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9．----------------（4分）
（2）∵圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y-4=k（x-3），------（5分）
即kx-y+4-3k=0，
由圓心C（1，-2）到直線的距離，----（6分）
即，解得，-----（8分）
∴直線方程為，即4x-3y=0，----（9分）
∴當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意，即所求的直線方程是x=3．--------（11分）
∴所求的直線方程為x=3和4x-3y=0．------------（12分）
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長的計(jì)算，合理運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．