Question

有定點P（6，4）及定直線l：y=4x，Q是l上在第一象限內的點．PQ交x軸的正半軸于M點，問點Q在什么位置時，△OMQ的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：設出Q點坐標，寫出直線PQ的方程，令x=0求出OM，利用三角形OMQ的OM上的高為Q的縱坐標，則根據三角形的面積公式表示出面積，然后利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：設Q（a，4a），則直線PQ的方程為y-4=

4-4a

6-a

（x-6），
令y=0，得到x=OM=

5a

a-1

，
所以當a＞1，即a+1＞0，a-1＞0時，
△OMQ的面積S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2-10+10

a-1

=10（a+1）+

10

a-1

≥20

a+1 a-1

當且僅當10（a+1）=

10

a-1

，即a=

2

時取等號，
所以當Q的坐標為（

2

，4

2

）時，面積S的最小值為20

a+1 a-1

=20

2 +1 2 -1

=20（

2

+1），

點評：此題為一道中檔題，要求學生靈活運用直線的一般式方程求值，靈活運用基本不等式求最值．構造面積的關系式是本題的突破點．