Question

（12分）已知棱長為1的正方體AC₁，E、F分別是B₁C₁、C₁D的中點．

（1）求證：E、F、D、B共面；

（2）求點A₁到平面的BDEF的距離；

（3）求直線A₁D與平面BDEF所成的角．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）1；（3）.

【解析】

試題分析：解：（1）略．

（2）如圖，建立空間直角坐標系D—xyz,

則知B（1，1，0），

設

得則

令．

設點A₁在平面BDFE上的射影為H，連結A₁D，知A₁D是平面BDFE的斜線段．

又

即點A₁到平面BDFE的距離為1．

（3）由（2）知，A₁H=1，又A₁D=，則△A₁HD為等腰直角三角形，

是在平面上的射影

所以是直線與平面所成的角，所以。

考點：本題主要考查空間向量的應用,綜合考查向量的基礎知識。

點評：以向量為工具，利用空間向量坐標及數量積，求點到平面的距離、求直線與平面所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．