Question

如圖，橢圓C：

x2

4

+

y2

m

=1（0＜m＜4）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱．
（1）若點P的坐標為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求實數m的最大值．

Answer 1

（1）依題意，M是線段AP的中點，
因為A（-2，0），P（4，3），
所以點M的坐標為(1，

3

2

)．
由點M在橢圓C上，所以

1

4

+

9

4m

=1，
解得m=3．
（2）設M（x₀，y₀），則

x 20

4

+

y 20

m

=1①，由題意知-2＜x₀＜2．
因為M是線段AP的中點，所以P（2x₀+2，2y₀）．
因為OP⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．②
由①②消去y₀，整理可得m=

4x0(x0+1)

x02-4

=4+

4

(x0+4)+ 12 x0+4 -8

≤2-

3

，
當且僅當x₀=-4+2

3

時，等號成立，
因為0＜m＜4，
所以m的最大值是2-

3

．