Question

定義在R上的偶函數f（x）在區間[1，2]上是增函數．且滿足f（x+1）=f（1-x），關于函數f（x）有如下結論：
①f(

3

2

)=f(-

1

2

)； 
②圖象關于直線x=1對稱； 
③在區間[0，1]上是減函數；
④在區間[2，3]上是增函數；
其中正確結論的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①賦值，取x=

1

2

，可得f(

3

2

)=f(-

1

2

)；
②f（x+1）=f（1-x），故圖象關于直線x=1對稱；
③偶函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，根據圖象關于直線x=1對稱，可得函數f（x）在[0，1]上是減函數；
④可判斷函數是周期為2的函數，根據函數f（x）在[0，1]上是減函數，可知函數在區間[2，3]上是減函數．
故可得結論．

解答：解：①取x=

1

2

，∵f（x+1）=f（1-x），∴f(

3

2

)=f(

1

2

)，∵函數f（x）是偶函數，∴f(

3

2

)=f(-

1

2

)，故①正確；
②f（x+1）=f（1-x），故圖象關于直線x=1對稱，故②正確；
③偶函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，圖象關于直線x=1對稱，故函數f（x）在[0，1]上是減函數，故③正確；
④∵f（x+1）=f（1-x），又函數是偶函數，∴f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函數是周期為2的函數，∵函數f（x）在[0，1]上是減函數，∴函數在區間[2，3]上是減函數，故④不正確．
故正確的結論是①②③．
故答案為：①②③

點評：本題利用函數的奇偶性與單調性進行判斷證明，考查函數的對稱性，周期性，命題開放，需要謹慎作答．