Question

設常數，函數，.

（Ⅰ）令，求的最小值，并比較的最小值與零的大小；

（Ⅱ）求證：在上是增函數；

（Ⅲ）求證：當時，恒有．

Answer 1

3分

列表如下：

		2
		0
	↘	極小值	↗

∴在處取得極小值，

即的最小值為．               ……5分

，

∵，∴，又，∴．         ……7分

證明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正數，

∴對一切，恒有，           ……9分

從而當時，恒有，                    

故在上是增函數．                       ……11分

證明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函數，

     ∴當時，，                           ……12分

     又，                      ……13分

∴，即，             

∴

故當時，恒有．