Question

（本小題滿分14分）

已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn)。

（1）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；

（2若過點(diǎn)的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求的值。

Answer 1

（1）解：由為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，

，，兩式相乘，

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，故，

所以，即直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）解法1：設(shè)，則由知，。

將代入得

，即，

由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，即。

同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，消去得，即，

從而[來，又，。

解法2：由題意知直線和都是橢圓E的切線，由對稱性知，兩直線的傾斜角分別為和，設(shè)其方程為，代入橢圓E的方程得

，即

由得，即，

，