Question

（滿分16分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）證明：是上的偶函數(shù)；
（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）當時，，當時，，當時，．

解析試題分析：
試題解析：（1）證明：函數(shù)定義域為，∵，∴是偶函數(shù)．
（2）由得，由于當時，，因此，即，所以，令，設，則，，∵，∴（時等號成立），即，，所以．
（3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當時，（因為），故函數(shù)在上增函數(shù)，，于是在上有解，等價于，即．考察函數(shù)，，當時，，當時，，當時，即在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，，所以當時，，即，，當時，，，即，，因此當時，，當時，，當時，．
【考點】（1）偶函數(shù)的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數(shù)的交匯；（3）導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，比較大小．