Question

已知函數（x∈R且x≠0）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當x＞0時，用單調性的定義討論并求出函數f（x）的單調增區間和單調減區間．

Answer 1

解：（1）函數f（x）為奇函數，理由如下：
∵函數（x∈R且x≠0）
∴=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數，
（2）當x＞0時，區間（0，2]為函數的單調遞減區間，
區間[2，+∝）為函數的單調遞增區間，
理由如下：
∵
∴
當0＜x≤2時，f′（x）≤0恒成立，此時函數為減函數；
當x≥2時，f′（x）≥0恒成立，此時函數為增函數；
分析：（1）根據已知中函數的定義域關于原點對稱，故我們只要判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，即可判斷出f（x）的奇偶性；
（2）根據已知中函數的解析式，我們可以求出其導函數的解析式，進而根據導函數值大于0，函數為增函數，導函數值小于0，函數為減函數，得到當x＞0時，函數f（x）的單調增區間和單調減區間．
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，其中熟練掌握函數單調性和奇偶性的方法和步驟是解答此類問題的關鍵．