Question

（2012•北京模擬）如果正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為a，那么它的體積為（　　）

• A．

  2

  12

  a3
• B．

  3

  12

  a3
• C．

  2

  4

  a3
• D．

  3

  4

  a3

Answer 1

分析：如圖所示：過(guò)頂點(diǎn)P作PO⊥底面ABC，垂直為O，則點(diǎn)O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面積易求，再根據(jù)三棱錐的體積公式V_{三棱錐P-ABC}=

1

3

S△ABC×PO即可．

解答：解：如圖所示：過(guò)頂點(diǎn)P作PO⊥底面ABC，垂直為O，則點(diǎn)O是底面的中心．
∵點(diǎn)O是底面的中心，即為△ABC的重心，∴OA=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a．
在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=

PA2-AO2

=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a．
又∵S正△ABC=

3

4

a2，
∴V_{三棱錐P-ABC}=

1

3

×

3

4

a2×

6

3

a=

2

12

a3．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：理解正三棱錐的定義及體積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．