Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+

π

4

)，數列{a_n}的首項a1=

1

2

 ， an+1=f(an)．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求證：a_n+1＞a_n；
（3）求證：1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2  (n≥2 ， n∈N*)．

Answer 1

（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
又∵α為銳角，所以2α=

π

4

，
∴sin(2α+

π

4

)=1，
則f（x）=x²+x；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（3）∵

1

an+1

=

1

a 2n +an

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，且a₁=

1

2

，
∴

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，
則

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

，
∵a2=(

1

2

)2+

1

2

=

3

4

，a3=(

3

4

)2+

3

4

＞1，
又n≥2時，∴a_n+1＞a_n，
∴a_n+1≥a₃＞1，
∴1＜2-

1

an+1

＜2，
∴1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2．