Question

14、（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=

（n+2）2^n-1

．

Answer 1

分析：先設t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nn再由C_n^m=C_n^n-m這個性質，將t轉化為t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，兩式相加求解．

解答：解：設t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_n^n…①
C_n^m=C_n^n-m
t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_n^n…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^r+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ
∴t=（n+2）2^n-1
故答案為：（n+2）2^n-1

點評：本題主要考查二項式系數及利用組合數的關系應用倒序相加法求代數式的值．